Risolvi la seguente equazione fratta:

\[{7x+7 \over x+2} + {3x+3 \over 4-x} = 2 – {x^2+26x+6 \over x^2 -2x-8}.\]

AVANTI

\[\begin{array}{cl} \text { C.E.: } & x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq-2 \\ & 4-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 4 \\ & x^{2}-2 x-8 \neq 0 \end{array}\]

AVANTI

Risolviamo l’equazione di secondo grado associata:

\[\begin{aligned} &x^{2}-2 x-8=0 \\ &\Delta=2^{2}-4 \cdot 1 \cdot(-8)=4+32=36 \\ &x_{1,2}=\frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}=\frac{2 \pm 6}{2} \Rightarrow \begin{array}{l} x_{1}=\frac{8}{2}=4 \\ x_{2}=\frac{-4}{2}=-2 \end{array} \end{aligned}\]

Quindi, le C.E. finali sono:

\[\begin{array}{cl} \text { C.E.: } & x \neq-2 \\ & x \neq 4 \\ & x^{2}-2 x-8 \neq 0 \end{array}\]

 

AVANTI

Compaiono incognite al denominatore?

Sì.

No.

Esatto, la \(x\) compare in tutti i denominatori.

Sbagliato, la \(x\) compare in tutti i denominatori.

AVANTI

Quindi, che cosa è bene fare per prima cosa?

Eliminare i denominatori.

Scrivere le Condizioni di Esistenza.

Fare il minimo comun denominatore.

Sommare tra loro le frazioni.

Sbagliato, non possiamo eliminare i denominatori senza assicurarci che siano diversi da zero.

Esatto, dobbiamo assicurarci che tutti i denominatori siano diversi da zero.

E’ vero, ma prima è meglio assicurarci che i denominatori non si annullino…

Non ancora, prima di sommare le frazioni dobbiamo ancora svolgere alcuni step intermedi.

AVANTI

Come si risolve l’ultima C.E.?

Si risolve l’equazione associata e si pone \(x\) diversa dai valori che troviamo.

\(x \neq 2, \quad x \neq 8\).

\(x^2 \neq 2x+ 8\).

Esatto, risolvendo l’equazione associata troviamo i valori che annullano questo denominatore e che dobbiamo scartare.

No, puoi controllare che, per esempio, \(x=8\) non azzera questo denominatore.

E’ un passaggio corretto, ma non ci fornisce esplicitamente i valori di \(x\) che rendono vera l’uguaglianza.

AVANTI