Risolvi la seguente equazione fratta: \[{7x+7 \over x+2} + {3x+3 \over 4-x} = 2 – {x^2+26x+6 \over x^2 -2x-8}.\]

AVANTI

\[\begin{array}{cl} \text { C.E.: } & x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq-2 \\ & 4-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 4 \\ & x^{2}-2 x-8 \neq 0 \end{array}\]

AVANTI

Risolviamo l’equazione di secondo grado associata: \[\begin{aligned} &x^{2}-2 x-8=0 \\ &\Delta=2^{2}-4 \cdot 1 \cdot(-8)=4+32=36 \\ &x_{1,2}=\frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}=\frac{2 \pm 6}{2} \Rightarrow \begin{array}{l} x_{1}=\frac{8}{2}=4 \\ x_{2}=\frac{-4}{2}=-2 \end{array} \end{aligned}\] Quindi, le C.E. finali sono: \[\begin{array}{cl} \text { C.E.: } & x \neq-2 \\ & x \neq 4 \\ & x^{2}-2 x-8 \neq 0 \end{array}\]

AVANTI

Riscriviamo la seconda frazione con un segno meno davanti e cambiando segno al denominatore per fare in modo che abbia \( (x-4) \) come denominatore: \[\frac{7 x-7}{x+2}-\frac{3 x+3}{x-4}=2-\frac{x^{2}+26 x+6}{x^{2}-2 x-8}.\] Mettiamo le frazioni a denominatore comune: \[\frac{(x-4)(7 x-7)-(x+2)(3 x+3)}{(x+2)(x-4)}=\frac{2\left(x^{2}-2 x-8\right)-\left(x^{2}+26 x+6\right)}{(x+2)(x-4)}.\]

AVANTI

Cancelliamo i denominatori e moltiplichiamo le parentesi: \[7 x^{2}+7 x-28 x-28-3 x^{2}-3 x-6 x-6=2 x^{2}-6 x+6-x^{2}-26 x-6.\] Sommiamo ora i termini simili: \[3x^2-12=0.\]

AVANTI

Soluzione: \(x=\pm2\).

AVANTI

Tenendo conto delle condizioni di esistenza, l’unica soluzione accettabile è \(x=2\).

AVANTI

Compaiono incognite al denominatore?

Sì.

No.

Esatto, la \(x\) compare in tutti i denominatori.

Sbagliato, la \(x\) compare in tutti i denominatori.

AVANTI

Quindi, che cosa è bene fare per prima cosa?

Eliminare i denominatori.

Scrivere le Condizioni di Esistenza.

Fare il minimo comun denominatore.

Sommare tra loro le frazioni.

Sbagliato, non possiamo eliminare i denominatori senza assicurarci che siano diversi da zero.

Esatto, dobbiamo assicurarci che tutti i denominatori siano diversi da zero.

E’ vero, ma prima è meglio assicurarci che i denominatori non si annullino…

Non ancora, prima di sommare le frazioni dobbiamo ancora svolgere alcuni step intermedi.

AVANTI

Come si risolve l’ultima C.E.?

\(x \neq 2, \quad x \neq 8\).

\(x^2 \neq 2x+ 8\).

Si risolve l’equazione associata e si pone \(x\) diversa dai valori che troviamo.

No, puoi controllare che, per esempio, \(x=8\) non azzera questo denominatore.

E’ un passaggio corretto, ma non ci fornisce esplicitamente i valori di \(x\) che rendono vera l’uguaglianza.

Esatto, risolvendo l’equazione associata troviamo i valori che annullano questo denominatore e che dobbiamo scartare.

AVANTI

Qual è il prossimo step?

Fare il minimo comun denominatore.

Sommare le frazioni.

Cancellare I denominatori.

Corretto: per sommare le frazioni bisogna metterle a denominatore comune.

E’ vero, ma per farlo bisogna che abbiano lo stesso denominatore.

No, non possiamo farlo se le frazioni non hanno tutte lo stesso denominatore.

AVANTI

Qual è il minimo comun denominatore?

\( (x+2)(x-4) \)

\( (x+2)(x-4)(x^2-2x-8) \).

\( (x+2)(4-x) \).

\( (x+2)(4-x)(x-4) \).

Esatto. Scomponendo \(x^2-2x-8\) si trova che esso è uguale a \( (x+2)(x-4) \), quindi questo è anche il minimo comune multiplo. Non consideriamo il \( (4-x) \) perché è uguale a \( -1 \) moltiplicato per \( (x-4) \).

L’ultimo polinomio non è scomposto, quindi potrebbe includere dei fattori doppi.

Corretto. Scomponendo \(x^2-2x-8\) si trova che esso è uguale a \( (x+2)(x-4) \), in cui l’ultimo fattore è uguale a \( -1 \) moltiplicato per \( (4-x) \). Per comodità, però, useremo come m.c.d. \( (x+2)(x-4) \).

Non è corretto in quanto \( (4-x) \) è uguale a \( -1 \) moltiplicato per \( (x-4) \), quindi è un “doppione”.

AVANTI

Quali sono i prossimi step?

Semplificare i denominatori e sommare i termini simili.

Semplificare i denominatori e moltiplicare tra loro le parentesi.

Moltiplicare tra loro le parentesi e sommare i termini simili.

Sbagliato. I termini simili non sono ancora visibili in questa forma.

Esatto: ora che i denominatori sono uguali e che abbiamo imposto le C.E. possiamo cancellarli, e per procedere con i calcoli dobbiamo moltiplicare fra loro le parentesi.

E’ corretto, ma è molto comodo semplificare prima i denominatori.

AVANTI

Come si risolve \(3x^2-12=0\)?

E’ un’equazione di secondo grado, applico la formula risolutiva.

\( x=4 \).

E’ un’equazione di secondo grado pura, la soluzione è \(x=2\).

E’ un’equazione di secondo grado pura, le soluzioni sono \(x=\pm2\).

E’ giusto, ma esiste un metodo più veloce…

No, questa soluzione andrebbe bene se nell’equazione originaria ci fosse \(3x\) invece di \(3x^2\).

Sbagliato. Anche \(x=-2\) è soluzione, infatti quando elevato al quadrato genera un numero positivo e risolve l’equazione.

Corretto!

AVANTI

Queste soluzioni sono accettabili?

Sì, entrambe.

Solo \(x=-2\).

Solo \(x=2\).

No, nessuna.

Non proprio: controlla le condizioni di esistenza.

Sbagliato, controlla le condizioni di esistenza.

Esatto. Infatti \(x=-2\) non è permessa dalle condizioni di esistenza.

Sbagliato. \(x=2\) non è vietata dalle condizioni di esistenza.

AVANTI